高数题，求证极限存在

证明数列收敛，题见图片

2025-05-17 05:48:55

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回答1：

　　证明：1）已知 x[1]>√a，设 x[n]>√a，则
　　　　x[n+1] = (x[n]²+a)/(2x[n]) = (x[n]+a/x[n)]/2 > √(x[n]*a/x[n)] = √a，
据归纳法原理，x[n]>√a 对所有的 n 成立；
　　2）由 1）可得对所有的 n，有
　　　　x[n+1]-x[n] = (x[n]²+a)/(2x[n])-x[n] = (x[n]²-a)/(2x[n]) > 0，
即 x[n+1]　　综合 1），2）据单调有界定理，该数列收敛。设x[n]→√a (n→∞)，则……。