（Ⅰ）解：因为f（x）=
（x＞0），则f′（x）=-1+lnx x
（x＞0），lnx x2
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0；当x=1时，f′（x）=0．
所以函数f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减；
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数在区间（a，a+
）（a＞0）上存在极值，1 2
所以
，解得
a＜1 a+
＞11 2
＜a＜1…（6分）1 2
（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）＞
，等价于2sinx x+1
＞2sinx．(x+1)(1+lnx) x
记g（x）=
（x≥1）(x+1)(1+lnx) x
所以g′（x）=
x?lnx x2
令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-
，1 x
由x≥1得h′（x）≥0，所以h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以[h（x）]min=h（1）=1＞0，
从而g′（x）＞0．
故g（x）在[1，+∞）上是单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，
因为当x≥1时，2sinx≤2，所以g（x）≥2sinx，
又因为当x=1时，2sinx=2sin1＜2，
所以当x≥1时，g（x）＞2sinx，即
＞2sinx，(x+1)(1+lnx) x
所以当x≥1时，不等式f（x）＞
恒成立．…（12分）2sinx x+1
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