如图，已知四边形 ABCD 是矩形，AB=2BC=2，三角形 PAB 是正三角形，且平面 ABCD⊥平面 PCD．（1...

2025-05-17 07:45:01

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回答1：

（1）证明：∵平面 ABCD⊥平面 PCD，平面 ABCD∩平面 PCD=CD，四边形 ABCD 是矩形．
∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，
在Rt△PDA与在Rt△PBC中，AD=BC，PB=PA，∴PC=PD=

2 2 - 1 2

．
若 O 是 CD 的中点，OP⊥CD．
OP=

(

) 2 -1

．
建立如图所示的空间直角坐标系，

AB=2BC=2．
则O（0，0，0），B（1，0，1），A（-1，0，1），P（0，

，0）．
∴

=(1，0，1) ，

=(-1，-

，1) ．
∴ cos＜

，

＞ =

| |

=0，
∴

⊥

，∴BO⊥PA．
（2）由（1）可知：

=(2，0，0) ．
设平面BPA的法向量为

n 1

=( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ，
由

n 1

，得

- x 1 -

y 1 + z 1 =0

2 x 1 =0

，取y₁ =1，则 z 1 =

如图，已知四边形 ABCD 是矩形，AB=2BC=2，三角形 PAB 是正三角形，且 平面 ABCD⊥平面 PCD．（1...