原题是:f(x)=x-(1⼀3)sin2x+asinx在(-∞,+∞)上递增，求a的取值范围. f✀(x)=1-(2⼀3)cos

原题是:f(x)=x-(1/3)sin2x+asinx在(-∞,+∞)上递增，求a的取值范围.
f'(x)=1-(2/3)cos2x+acosx
=1-(2/3)(2cos²x-1)+acosx
=-(4/3)cos²x+acosx+(5/3)
设t=cosx
f'(x)=g(t)=-(4/3)t²+at+(5/3),-1≤t≤1
g(t)=-(4/3)t²+at+(5/3)是一个开口向下的二次函数
得 f(x)在在(-∞,+∞)上递增(是增函数)的充要条件是:
g(t)≥0在-1≤t≤1时恒成立.
又g(t)=-(4/3)t²+at+(5/3)是一个开口向下的二次函数
得a可取的充要条件:
g(-1)=-a+(1/3)≥0
且g(1)=a+(1/3)≥0
解得 -1/3≤a≤1/3
所以a的取值范围是 -1/3≤a≤1/3。

希望能帮到你！

单独拿出来y=sin2x这个函数，看它的求导，是复合函数，用内外层方法求导
令y=sint, t=2x
则y'=cost * t'
=cos2x * 2
=2cos2x
那么那个2/3就好理解了

函数f（x）=x-
1
3
sin2x+asinx的导数为：f′（x）=1-
2
3
cos2x+acosx，
由题意可得f′（x）≥0恒成立，
即为1-
2
3
cos2x+acosx≥0，
即有
5
3
-
4
3
cos2x+acosx≥0，
设t=cosx（-1≤t≤1），即有5-4t2+3at≥0，
当t=0时，不等式显然成立；
当05
t
，
由4t-
5
t
在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值-1，
可得3a≥-1，即a≥-
1
3
；
当-1≤t<0时，3a≤4t-
5
t
，
由4t-
5
t
在[-1，0）递增，可得t=-1时，取得最小值1，
可得3a≤1，即a≤
1
3
，
综上可得a的范围是[-
1
3
，
1
3
]，
故选：C．