13问答网 > 已知函数f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＞0，f(1)=2.

已知函数f(x)对任意实数x,y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＞0，f(1)=2.

2025-05-16 10:08:03

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回答1：

设x1,x2∈R,且x1f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
又x2-x1>0,
所以f(x2-x1)>0
所以f(x2)-f(x1)>0
即f(x1)则得f(x)在R上是增函数
所以f(3)为最大值,f(-3)为最小值
f(3)=f(1+2)
=f(1)+f(2)
=f(1)+f(1+1)
=f(1)+f(1)+f(1)
=3f(1)=6

令x=y=0,知f(0)=0,
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(-x)=-f(x)
所以f(x)在R上是奇函数
所以f(-3)=-f(3)
所以最小值f(-3-3f(3)=-6

回答2：

令y=0 有f(x)=f(x)+f(0) 得f(0)=0
再令y=-x f(0)=f(x)+f(-x) 得f(x)为奇函数
再去x=x1 y=-x2（x，y均在定义域内） (-x2)0
可得f(x)单增所以最大值为f(3)
又f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=6

还有一种方法适合选择题填空题
验证可得f(x)=kx 由f(1)=2解得k=2
结合函数可得最大值为6