高数第九题求解俶

渐近线，有三个特征：（1）x，或y趋近于无穷远，曲线与直线都是无限延伸；（2）曲线上，趋向无限的点到直线的距离的极限是0，但是不等于0；（3）直线，可以看成是曲线上无限远点的切线。无限远点处曲线的斜率=渐近直线的斜率。
常见的例子：y=1/x，x->∞，y->0,x轴是其水平渐近线；x->0,y->∞，y轴是铅直渐近线；
（1）曲线上的点（x，f(x))，到直线y=ax+b，ax-y+b的距离为：
|ax-f(x)+b|/√（a²+1）
lim（x->∞）|ax-f(x)+b|/√（a²+1）=0
lim（x->∞）|ax-f(x)+b|=0
lim（x->∞）[ax-f(x)+b]=0
y=kx+b，是向x，y的无穷大两个方向延伸的，必有lim（x->∞）f（x）=∞；
上面是∞-∞的不定式
lim（x->∞）[ax-f(x)]=-b
b=lim（x->∞）[f(x)-ax]；得证。
lim（x->∞）[ax-f(x)+b]=lim（x->∞）x[a-f(x)/x+b/x]=0
有确定的极限，前面必须是∞.0的不定式：
lim（x->∞）[a-f(x)/x+b/x]=0
lim（x->∞）[a-f(x)/x]+lim（x->∞）b/x=0
lim（x->∞）[a-f(x)/x]=0
a=lim（x->∞）f(x)/x,得证
这两个极限，可以用来求解渐近线的方程。
（2）无穷延伸，必须lim（x->c)f(x)=∞：
根据定义，曲线上的点到直线x=c的距离=|x-c|
lim（y=f(x)-->∞）|x-c|=0
即lim(x->c)f(x)-->∞