解：（I）证明：由条件得 DB=2
，D11=2
2
，BB1=4
2
∴BD2+DB12=BB12
∴B1D⊥DB，
又AB⊥面BCC1B1，
∴BA⊥B1D
∴B1D⊥面ABD（3分）
（Ⅱ）取B1C1的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，
∴∠GEF或其补角为BD、EF所成角（4分）
∵A1B1⊥面BCC1B1，GF∥A1B1∴FG⊥面BCC1B1，∴FG⊥GE
在Rt△EGF中，GE=
，GF=2，∴tan∠GEF=
2
，
2
∴cos∠GEF=
．
6
3
∴BD与EF所成角的余弦值
．（8分）
6
3
（Ⅲ）∵F，G分别为对应边的中点，
∴GF∥A1B1∥AB，
又由第二问得：EG∥BD
∴平面ABD∥平面GEF，
所以有：EF∥平面ABD．
故直线EF与平面ABD所成角的正弦值为0．
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