（1）易知，对一切n≥1，an≠0，由an+2=
，得
an(an+1+1)
+1
a
=an+2
an+1+
1
an+1
．an+1
an+
1 an
依次利用上述关系式，可得
=an+1
an+
1 an
=an
an?1+
1 an?1
=…=an?1
an?2+
1 an?2
=a1
a1+
1 a1
=1，2 1+
1 1
从而数列
是常数列．（4分）
an(an+1+1)
+1
a
（2）由（1）得an+1=an+
．1 an
又a1=1，∴可知数列{an}递增，则对一切n≥1，有an≥1成立，从而0＜an2≤1．（6分）
当n≥2时，an2=an-12+
+2，1
a
于是an2-an-12=
+2，1
a
∴2＜an2-an-12≤3．（8分）
（3）当n≥2时，an2=an-12+
+2，1 a
∴a=1，a22=4，则当n≥3时，
an2＞2n．
a20112＞4 022＞3 969=632，（10分）
a20112=
+…+1
a
+2（2011-1）+11
a
=4 022+
＜4 022+1 2
×331 2
=4 022+
×331 2
＜4 022+
（19+4+10）＜4 039＜4 096=642．（14分）1 2
∴63＜a2011＜64，即a2011的整数部分为63．（16分）
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