已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R)，证明直线l过定点

2025-05-08 19:47:24

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1、令k＝1得x－y＋1＋2＝0，即x－y＝－3
令k＝－1得－x－y＋1－2＝0，即x＋y＝－1
解得x＝－2，y＝1
∴直线l过定点（－2，1）

2、∵kx-y+1+2k=0，∴y＝kx＋1＋2k
若直线不经过第四象限，则
k＞0
1＋2k≥0
解得k＞0

3、在kx-y+1+2k=0中，分别令x＝0，y＝0
得A（－1/k－2，0），B（0，1＋2k）
△AOB的面积S＝1/2|－1/k－2|(1＋2k)
＝1/2(1/k＋2)(1＋2k)
＝1/2(1/k＋4k)＋2≥1/2×2√(1/k·4k)＋2＝4
∴S的最小值为4
当1/k＝4k，即k＝±1/2时等号成立
当k＝1/2时，kx-y+1+2k＝1/2x－y＋2＝0
直线l方程为1/2x－y＋2＝0
当k＝－1/2时，kx-y+1+2k＝－1/2x－y＋1＋2×(－1/2)＝0
直线l方程为－1/2x－y＝0