伴随矩阵
A*=
A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
=(-1)*
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
=-AT
则
AA*=-ATA
而AA*=|A|I
则
-ATA=|A|I
等式两边同时取行列式，得到
（-1）^3|AT||A|=|A|^3
即
|A|^2(|A|+1)=0
解得|A|=-1或0
另外，由于|A|=a11A11+a12A12+a13A13
=-(a11^2+a12^2+a13^2)
当|A|=0时，则必然有a11=a12=a13=0
同理，得到A的所有元素都为0，而由于A不是零矩阵，因此要舍去|A|=0
条件说明A的伴随阵adj(A)=-A^T，再由A和adj(A)秩的关系可得A满秩，从而|A|≠0
再用|A|=|A^T|=-|adj(A)|=-|A|^2得|A|=-1
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