如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB， ∠ABC= π 3 ， ∠BCA= π 2 ，点

2025-05-08 07:12:08

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回答1：

（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC．
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE ∥ BC，
∴DE=

BC，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=

AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=

AB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=

2AD

，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是

．（12分）
（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a，
由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0）， B(-

a，

a，0) ， C(0，

a，0) ．
（1）∵

=(0，0，a) ，

a，0，0) ，
∴

=0 ，
∴BC⊥AP．
又∵∠BCA=90°，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE ∥ BC，
∴E为PC的中点，
∴ D(-

a，

a) ， E(0，

a，

a) ，
∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵

=（-

a，

a ），

=（0，

a，

a），
∴cos∠DAE=

|?|

，sin∠DAE=