13问答网 > 已知各项均为正数的数列{a n }的前n项和s n 满足s 1 ＞1，且6s n =（a n +1）（a n +2）（n为正整数）．

已知各项均为正数的数列{a n }的前n项和s n 满足s 1 ＞1，且6s n =（a n +1）（a n +2）（n为正整数）．

2025-04-24 04:09:40
推荐回答（1个）
回答1：

（1）n=1时，6a 1 =a 1 2 +3a 1 +2，且a 1 ＞1，解得a 1 =2．…..（2分）
n≥2时，6S n =a n 2 +3a n +2，6S n-1 =a n-1 2 +3a n-1 +2，
两式相减得：6a n =a n 2 -a n-1 2 +3a n -3a n-1
 即（a n +a n-1 ）（a n -a n-1 -3）=0，
∵a n +a n-1 ＞0，
∴a n -a n-1 =3，
∴{a n }为等差数列，a n =3n-1．…．（6分）
（2） b n =
3n-1，n为偶数
2 3n-1 ，n为奇数
，T n =b 1 +b 2 +…+b n ．…..（7分）
当n为偶数时，
T n =（b 1 +b 3 +…+b n-1 ）+（b 2 +b 4 +…+b n ）
=
4(1- 8
n
2
)
1-8
+
n
2
(5+3n-1)
2
=
4
7
( 8
n
2
-1)+
n(3n+4)
4
，…．（9分）
当n为奇数时，T n =（b 1 +b 3 +…+b n ）+（b 2 +b 4 +…+b n-1 ）
=
4(1- 8
n+1
2
)
1-8
+
n-1
2
(5+3n-4)
2
=
4
7
( 8
n+1
2
-1)+
(n-1)(3n+1)
4
．…（11分）∴ T n =
4
7
( 8
n
2
-1)+
n(3n-4)
4
，n为偶数
4
7
( 8
n+1
2
-1)+
(n-1)(3n+1)
4
，n为奇数
…..（12分）
（3） C n =
2 a n+1
a n
=
2 3n+2
3n-1
，n为偶数
a n+1
2 a n
=
3n+2
2 3n-1
，n为奇数
，…..（14分）
当n为奇数时， C n+2 - C n =
3n+8
2 3n+5
-
3n+2
2 3n-1
=
1
2 3n+5
[3n+8-64(3n+2)]＜0 ，…（15分）
∴C n+2 ＜C n ，
∴{C n }递减，…..（16分）
C n ≤ C 1 =
5
4
＜2008 ，…..（17分）
因此不存在满足条件的正整数N．…..（18分）

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