充分性你会证,我只说必要性为什麼也成立.
即如果{xn}收敛于a,那麼对於任意的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,|xn-a|<2ε.
因为ε是任意常数,2ε也是任意常数且2ε∈(0,2)
而定义中是说,如果{xn}收敛于a,那麼对任意ε>0,总存在正整数N,当n>N时|xn-a|<ε.定义中的ε没有限定范围,所以是对(0,+∞)上的所有ε,都会存在相应的N.那麼对在(0,2)上的ε,自然也会有相应的N.极限定义中的n>N一定可以换成n≥N,这是显然的,所以必要性也成立了.
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