高中数学题

1.以O为原点建立直角坐标系A(-a,0), B(b/2,b√3/2)
a,b>0,分别为A.B点与原点距离
AB所在直线方程为：√3bx-(2a+b)y+√3ab=0
O到AB距离: d=|√3ab|/√(3b^2+4a^2+4ab+b^2)
=√3ab/2√(a^2+ab+b^2)=10
即：√(a^2+ab+b^2)=√3ab/20........(1)
｜AB｜=√[(b/2+a)^2+3b^2/4]=√(a^2+ab+b^2)≥√(3ab)
等号当a=b时成立，｜AB｜最小值为√(3ab)
将（1）式代入得：√3ab/20≥√(3ab)
ab≥400
当a=b=20时，｜AB｜=20√3
A点在O点正西20公里处，B点在东偏北60度公路上，距O点20公里。

2.设A(a,0),B(0,b)
r=(a+b-c)/2=1 c=√a^2+b^2
a+b-√(a^2+b^2)=2
2(a+b)=ab+2 .....(1)
直线l方程为：y=-bx/a + b

1)将C点坐标代入得：b=(2+√3)a/(2a-3),代入（1）式
解得：a=3+√3, b=1+√3
则直线l方程为：(1+√3)x+(3+√3)y-6-4√3=0

2)S=ab/2=a+b-1≥2√ab -1
当a=b时，面积有最小值：S=a+b-1=2a-1=a^2/2
解得：a=2-√2(舍去)， a=2+√2
即a=b=2+√2
周长=a+b+√a^2+b^2
将（1）式代入整理得： 周长=a+b+(ab/2 -1)
=a+b+a+b-2
=2（a+b-1）
S=a+b-1在a=b时有最大值，所以周长=2（a+b-1）也在a=b时有最大值
同样有：a=b=2+√2,即二个三角形AB点位置相同
则△AOB为同一三角形

3）l的方程为 x+y-2-根号2=0
则a=b=2+√2
OM所在直线为：y=x, 设P(x,x) x∈[0,1]
PA²+PB²+PO²=[(x-a)^2+x^2]+[(x-b)^2+x^2]+[x^2+x^2]
=6x^2-(2a+2b)x+a^2+b^2
=6x^2-4(2+√2)x+12+8√2
令f(x)= =6x^2-4(2+√2)x+12+8√2
f'(x)=12x-4(2+√2), x=(2+√2)/3时，f'(x)=0
但x=(2+√2)/3>1，P点不在OM内
x=1时，f(x)=10+4√2
x=0时，f(x)=12+8√2
PA²+PB²+PO²最大值为 12+8√2
最小值为 10+4√2