13问答网 > 已知圆C：x 2 +y 2 -2x+4y-4=0；（1）若直线l过P（-2，2）且与圆C相切，求直线l的方程．（2）是否存在斜

已知圆C：x 2 +y 2 -2x+4y-4=0；（1）若直线l过P（-2，2）且与圆C相切，求直线l的方程．（2）是否存在斜

2025-05-08 16:09:56

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回答1：

（1）圆C可化为：（x-1）² +（y+2）² =9?圆心：C（1，-2）；半径：r=3
①当l斜率不存在时：l：x=-2，满足题意（2分）
②当l斜率存在时，设斜率为k，则：l：y-2=k（x+2）?kx-y+2k+2=0
则： d=

|k+2+2k+2|

k 2 +1

=3?k=-

故：l：7x+24y-34=0（3分）
综上之：直线l的方程：x=-2或7x+24y-34=0（1分）
（2）设直线l的方程为y=x+b，代入圆的方程x² +（x+b）² -2x+4（x+b）-4=0．即2x² +（2b+2）x+b² +4b-4=0．（*）以AB为直径的圆过原点O，则OA⊥OB．
设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），则x₁ x₂ +y₁ y₂ =0，即x₁ x₂ +（x₁ +b）（x₂ +b）=0．
∴2x₁ x₂ +b（x₁ +x₂ ）+b² =0．
由（*）式得x₁ +x₂ =-b-1，x₁ x₂ =

b 2 +4b-4

∴b² +4b-4+b?（-b-1）+b² =0．
即b² +3b-4=0，∴b=-4或b=1．
将b=-4或b=1代入*方程，对应的△＞0．
故存在直线l：x-y-4=0或x-y+1=0．