证明：（1）如图1，
∵矩形ABCD中，∠ADC=90°，且O为AE中点，
∴OD=
AE，1 2
∴点D在⊙O上．
（2）证明：如图1，连接OF、EF，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠AFE=90°，
∵∠D=∠DAF=90°，
∴四边形AFED为矩形，
∴AF=DE．
∵E为CD的中点，
∴F为AB的中点．
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF∥EB．
∵FH⊥EB，
∴OF⊥FH，
又∵OF是⊙O的半径，
∴FH为⊙O的切线．
（3）作OM⊥FG，连接OF，
∵AE∥FH，
∴∠AEB=90°，
易证△ADE∽△ECB，
由相似得：DE=2或8．，
①当DE=2时，
如图2，AF=2，FB=8，EB=4
，AE=2
5
，
5
由△BFH∽△BAE得，
则
=HB BE
，BF AB
故
=HB 4
5
，8 10
解得：HB=
，则OM=EH=BE-HB=16
5
5
，4
5
5
FM=
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