已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），且经过定点P（1，32），

2025-05-09 20:31:56

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回答1：

（1）由椭圆定义得|PF₁|+|PF₂|=2a，…（1分）
即2a=4，…（2分）
∴a=2．
又c=1，∴b²=a²-c²=3．
故椭圆方程为

＝1…（4分）
（2）设M（x₀，y₀），则圆M的半径r=

(x0?1)2+y02

，…（5分）
圆心M到y轴距离d=|x₀|，
若圆M与y轴有两个交点则有r＞d即

(x0?1)2+y02

＞|x₀|，…（7分）
化简得y02?2x0+1＞0．
∵M为椭圆上的点
∴得3x02+8x0?16＜0，
解得-4＜x₀＜

．
∵-2≤x₀≤2，
∴-2≤x₀＜

．…（9分）
（3）存在定圆N：（x+1）²+y²=16与圆M恒相切，
其中定圆N的圆心为椭圆的左焦点F₁，半径为椭圆C的长轴长4．…（12分）
∵由椭圆定义知，|MF₁|+|MF₂|=4，即|MF₁|=4-|MF₂|，
∴圆N与圆M恒内切．…（14分）