（1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°
∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠CBO=∠ABP，
∴∠BOC=∠APB，
∵∠BOC=∠AOP，
∴∠AOP=∠APB，
∴AP=AO；
（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO=∠ABP，
∴CO=DO，
∵AE=OC，
∴AE=OD，
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，
∴∠AOD=∠PAE，
在△AOD和△PAE中，
，
AE＝OD ∠AOD＝∠PAE AP＝AO
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP=∠ADO=90°
∴PE⊥AO；
（3）解：设AE=OC=3k，
∵AE=
AC，∴AC=8k，3 8
∴OE=AC-AE-OC=2k，
∴OA=OE+AE=5k．
由（1）可知，AP=AO=5k．
如图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．
在Rt△AOD中，AD=
=
AO2?OD2
=4k．
(5k)2?(3k)2
∴BD=AB-AD=10-4k．
∵OD∥AP，
∴
＝OD AP
，即BD AB
＝3k 5k
10?4k 10
解得k=1，
∵AB=10，PE=AD，
∴PE=AD=4K，BD=AB-AD=10-4k=6，OD=3
在Rt△BDO中，由勾股定理得：
BO=
=
BD2+OD2
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