设实数a≥1，使得不等式x|x-a|+32≥a，对任意的实数x∈[1，2]恒成立，则满足条件的实数a的范围是[1，32]

2025-05-11 23:47:22

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回答1：

∵a≥1，不等式x|x-a|+

≥a，对任意的实数x∈[1，2]恒成立，等价于x|x-a|≥a-

．
令f（x）=x|x-a|，则有 f_min（x）≥a-

．
当1≤a≤2时，f（x）=x|x-a|=

x(x?a) ， a ≤x≤2

x(a?x) ， ≤x＜a

，∴f_min（x）=f（a）=0，
∴0≥a-

，解得 a≤

，故 1≤a≤

．
当a＞2时，f（x）=x（a-x），此时f_min（x）=f（1）或f（2），
故有

f(1)≥a?

f(2)≥a?

，即

a?1≥a?

2a?4≥a?

，解得 a≥

．
综上可得 1≤a≤

或 a≥

．
故答案为[1，

]∪[

，+∞）．