已知函数y=f（x）=ln（kx+ 1 x ），（k＞0）在x=1处取得极小值．（1）求k的值；（2）若f（x）

2025-05-17 08:59:15

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回答1：

（1） f′(x)=

k x 2 -1

x(k x 2 +1)

，
由已知得 f′(1)=

k-1

k+1

=0?k=1 ．…（3分）
（2）当k=1时 f′(x)=

x 2 -1

x( x 2 +1)

，
此时y=f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增…（5分）
由于 f′(x)=

x 2 -1

x( x 2 +1)

， k=f′(

)=-

，
则y=f（x）在 (

，ln

) 的切线方程为 y-ln

(x-

) ，即 y=g(x)=-

+ln

…（8分）
当x＞0时，曲线y=f（x）不可能在直线y=g（x）的下方?f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
令 ?(x)=f(x)-g(x)=ln(x+

-ln

， ?′(x)=

(x-

)(6 x 2 +8x+10)

5( x 3 +x)

当 x∈(0，

)，?′(x)＜0，x∈(

，+∞)，?′(x)＞0 ， ?(x ) min =?(

)=0 ，
即?（x）≥0即f（x）≥g（x）在（0，+∞）恒成立，
所以当x＞0时，曲线y=f（x）不可能在直线y=g（x）的下方…（13分）