设4维向量组α1=（1+a，1，1，1）T，α2=（2，2+a，2，2）T，α3=（3，3，3+a，3）T，α4=（4，4，4，4+a

|a1,a2,a3,a4|=

1+a 2 3 4

1 2+a 3 4

1 2 3+a 4

1 2 3 4+a

c1+c2+c3+c4

10+a 2 3 4

10+a 2+a 3 4

10+a 2 3+a 4

10+a 2 3 4+a

r2-r1,r3-r1,r4-r1

10+a 2 3 4

0 a 0 0

0 0 a 0

0 0 0 a

= (10+a)a^3.

所以 a=0 或 a=-10 时向量组线性相关。

含义

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

|a1,a2,a3,a4|=
1+a
2
3
4
1
2+a
3
4
1
2
3+a
4
1
2
3
4+a
c1+c2+c3+c4
10+a
2
3
4
10+a
2+a
3
4
10+a
2
3+a
4
10+a
2
3
4+a
r2-r1,r3-r1,r4-r1
10+a
2
3
4
0
a
0
0
0
0
a
0
0
0
0
a
=
(10+a)a^3.
所以
a=0
或
a=-10
时向量组线性相关.
当a=0时,
(a1,a2,a3,a4)=
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
-->
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
此时
a1是一个极大无关组,且a2=2a1,a3=3a1,a4=4a1.
当a=-10时,
(a1,a2,a3,a4)=
-9
2
3
4
1
-8
3
4
1
2
-7
4
1
2
3
-6
r1-r4,r2-r4,r3-r4
-10
0
0
10
0
-10
0
10
0
0
-10
10
1
2
3
-6
r1*(-1/10),
r2*(-1/10),r3*(-1/10)
1
0
0
-1
0
1
0
-1
0
0
1
-1
1
2
3
-6
r4-r1-2r2-3r3
1
0
0
-1
0
1
0
-1
0
0
1
-1
0
0
0
0
此时
a1,a2,a3是一个极大无关组
且
a4=-a1-a2-a3.

记以α1，α2，α3，α4为列向量的矩阵为A，
则：
.
A
.
＝
.
1+a
2
3
4
1
2+a
3
4
1
2
3+a
4
1
2
3
4+a
.
＝(10+a)a3，
于是，
当|A|=0，即a=0或a=-10时，α1，α2，α3，α4线性相关．
①当a=0时，显然α1是一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1；
②当a=-10时，矩阵A＝
?9
2
3
4
1
?8
3
4
1
2
?7
4
1
2
3
?6
，
易知：A有三阶非零行列式
.
?9
2
3
1
?8
3
1
2
?7
.
＝?400≠0，
所以α1，α2，α3为极大线性无关组，且α1+α2+α3+α4=0，
即：α4=-α1-α2-α3．