解答：（1）证明：连结OA、OB、OC、OD，作OF⊥CD于F，如图，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠BOE=
∠AOB，∠COF=1 2
∠COD，1 2
∵∠ACB=
∠AOB，∠CBD=1 2
∠COD，1 2
∴∠BOE=∠ACB，∠COF=∠CBD，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB+∠CBD=90°，
∴∠BOE+∠COF=90°，
而∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠COF=∠OBE，
在△BOE和△OCF中，
，
∠BEO＝∠OFC ∠OBE＝∠COF OB＝OC
∴△BOE≌△OCF（AAS），
∴OE=CF，
而OF⊥CD，
∴CF=DF，
∴OE=
CD；1 2
（2）证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=BE，CF=DF，
∴AB2+CD2=4BE2+4CF2，
∵CF=OE，
∴AB2+CD2=4BE2+4OE2=4（BE2+4OE2），
在Rt△OBE中，∵BE2+OE2=OB2=R2，
∴AB2+CD2=4R2；
（3）解：根据题意得AB+CD=6，AB?CD=4，
∴AB2+CD2=（AB+CD）2-2AB?CD=62-2?4=28，
∵AB2+CD2=4R2；
∴4R2=28，解得R=
，
7
即⊙O的半径R的值为
．
7
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