13问答网 > 已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S 4 =16，S 6 =36，（1）求a n ；（2）设λ为实数，对任意正

已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S 4 =16，S 6 =36，（1）求a n ；（2）设λ为实数，对任意正

2025-05-13 22:13:27

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回答1：

（1）设等差数列{a_n }的公差为d，
由S₄ =16，S₆ =36，
得

4 a 1 +

4×3

d=16

6 a 1 +

6×5

d=36

，…（2分）
解得

a 1 =1

d=2

，…（4分）
∴a_n =2n-1…（5分）
（2）由a_n =2n-1，
得S_n =n² ，
S_m +S_n ＞λ?S_m+n ，
即m² +n² ＞λ（m+n）² 对任意正整数m，n恒成立，
∴ λ＜

m 2 + n 2

(m+n) 2

对任意正整数m，n恒成立，…（7分）
而

m 2 + n 2

(m+n) 2

m 2 + n 2

m 2 + n 2 +2mn

≥

m 2 + n 2

m 2 + n 2 + m 2 + n 2

（m=n时取等号）…（9分）
∴ λ＜

…（10分）
（3）由题意得：
c n =f( 2 n+2 +4)=f( 2 n+1 +2)=f( 2 n +1)= a 2 n +1 =2?( 2 n +1)-1= 2 n+1 +1 …（13分）
∴T_n =c₁ +c₂ +…+c_n =（2² +2³ +…+2ⁿ⁺¹ ）+n
=2ⁿ⁺² -4+n．…（15分）