解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=ln，∴f′（x）=，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=ln，
∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，
∴1-ln-1=0，∴a=1；
（Ⅱ）证明：令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-（x＞a＞0），
则φ′（x）=-＜0，
∴φ（x）在（a，+∞）上单调递减，且φ（a）=0，
∴x＞a时，φ（x）＜φ（a）=0，即f（x）＜g（x），
∴当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方；
（Ⅲ）证明：由题意，h（x）=lnx-ex，
若存在唯一的x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于h′（x0），
则-e=，
∴x0ln-（x2-x1）=0，
设F（x）=xln-（x2-x1），则F（x）是关于x的一次函数，
∴只需证明F（x）在（x1，x2）上单调，且满足F（x1）F（x2）＜0．
F（x1）=x1ln-（x2-x1），F（x2）=x2ln-（x2-x1），
将x1，x2看作自变量，得到两个新函数足F（x1）、F（x2），讨论它们的最值．
F（x1）=x1ln-（x2-x1），F′（x1）=ln＞0，函数是增函数，
∵x1＜x2，∴F（x1）＜F（x2）=0．
同理F（x2）=x2ln-（x2-x1），函数是增函数，∴F（x1）＞F（x2）=0．
∴F（x1）F（x2）＜0∴F（x）=xln-（x2-x1）在（x1，x2）上有零点x0，
∵＞1，∴ln＞0，
∴F（x）=xln-（x2-x1），）在（x1，x2）上是增函数，
∴F（x）=xln-（x2-x1）在（x1，x2）上有唯一零点x0，
∴对于曲线C上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，
存在唯一的x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于h′（x0）．
