13问答网 > （2012?广东模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证

（2012?广东模拟）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证

2025-04-26 12:10:50

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回答1：

解答：解：（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC，
又 AC⊥C₁C，且BC∩C₁C=C
∴AC⊥平面BCC₁，又BC₁?平面BCC₁
∴AC⊥BC₁
（II）以CA、CB、CC₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
∵AC=3，BC=4，AA₁=4，
∴A（3，0，0），B（0，4，0）C（0，0，0），D(

，2，0)，
B₁（0，4，4），
∴

，2，0)，

CB1

=(0，4，4)
平面CBB₁C₁的法向量

=(1，0，0)，
设平面DB₁C的法向量

=(x0，y0，z0)，
则

，

的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小
则由

CB1

x0+2y0=0

4y0+4z0=0

令x₀=4，则y₀=-3，z₀=3
∴

=(4，-3，3)…（10分）
cos＜

，

＞=

|?|

，则tan＜

，

＞=

∵二面角D-B₁C-B是锐二面角
∴二面角D-B₁C-B的正切值为