已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a＞0）．（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实

2025-05-12 00:44:41

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回答1：

（1）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，
∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立?1-

lnx

≥b，…（1分）
令g（x）=1-

lnx

，可得g（x）在（0，1]上递减，
在[1，+∞）上递增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0…（3分）
（2）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

，设h（x）=

lnx

，当x=e时，h（x）_max=

，
∴当a≥

时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增…（5分）
若0＜a＜

，g（x）=2ax-lnx，（x＞0），g′（x）=2a-

，
g′（x）=0，x=

，x∈（0，

），g′（x）＜0，x∈（

，+∞），g′（x）＞0，
∴x=

时取得极小值，即最小值．
而当0＜a＜

时，g（

）=1-ln

＜0，
f′（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调…（8分）
∴a≥

…（9分）
（3）由（1）知g（x）=1-

1+lnx

在（0，1）上单调递减，
∴

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即

1+lnx

＜

1+lny

…（10分）
而

＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，
∴1+lnx＞0，
∴

＜

1+lny

1+lnx

…（12分）