已知AB是圆O中一条长为4的弦,P是圆O上一动点,且cos∠APB=1⼀3,问是否存在以A、B为顶点的面积最大的三角形?

你好，木昔沧月：

解：

存在以A、B、P为顶点的面积最大的三角形? 

如图，PF是AB的中垂线，作BE⊥AP，垂足为E，

∵PB=PA，cos∠APB=PE/PB=1/3

∴PB=3PE，AE=2PE，

由勾股定理得，BE²=PB²-PE²=AB²-AE²

得PE=(2√3)/3，AE=(4√3)/3，PA=2√3，BE=(4√6)/3

∴S△PAB=1/2PA×BE=1/2×2√3×(4√6)/3=4√2

存在。
做法在下面的WY070135已经做得很好了，现在就说说作图：
作图是要根据条件来作的：
（1）作三角形ABC，使AB=4，BC垂直AB，AC=12
（2）过点A作AC的垂线，与AB的垂直平分线相交于点O，
（3）以O为圆心，OA为半径作圆，在优弧上取点P，当P在AB的垂直平分线上时，三角形ABP的面积最大。

过圆心
(4根号2)/3

sinAPB=2根2/3 tanAPB=2根2 PB=AB*tanAPB=8根2 Smax=PB*AB/2=16根2

你的问题不清晰
以A、B为顶点，另一点没明确是P（在圆周上），如不明确，这样的△面积可以无限大；
如明确第三点是P ；图看楼上
则存在这一点，就是AB的垂直平分线于圆周的交点，此时AB为底边，高最大
面积=AB*h/2=
AB*[(AB/2)*ctan(∠APB/2)]/2
=4*[2*根号2]/2
=4*根号2