求二项式定理中的柯西不等式

柯西不等式
二维形式
　　(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 　　等号成立条件：ad=bc 　
　扩展:（a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+...bn^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2 　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn(当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n） 　　
三角形式 　　
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 　　等号成立条件：ad=bc 　　
注：“√”表示平方根， 　　
向量形式 　
　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a,…,an)，β=(b1,b,…,bn)（n∈N，n≥2） 　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。 　　
一般形式 　　
(∑（ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi)^2 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。 　　上述不等式等同于图片中的不等式。 　　
推广形式 　　(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
一般形式的证明
　　求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 　　
证明： 当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立 　　
令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2 　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0 　　构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）
展开得： 　　f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0 　　
故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0， 　　
（请注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B！）

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