13问答网 > 求微分方程满足条件的特解。y✀+y=e^x,在x=0的条件下，y=2 我高数特差，希望能写详细些，

求微分方程满足条件的特解。y✀+y=e^x,在x=0的条件下，y=2 我高数特差，希望能写详细些，

2025-05-09 10:58:11

推荐回答（2个）

回答1：

显然y=1/2e^x是原非齐次方程的一个特解
对齐次方程y'+y=0
可写为dy/dx+y=0
即dy/y=-dx
则lny=-x+C
则y=e^(-x+C)
则非齐次方程的通解为齐次方程通解+非齐次方程特解，则非齐次方程通解为
y=e^(-x+C)+1/2e^x
又x=0时，y=2
则2=e^C+1/2
则e^C=3/2
则满足条件的特解为y=3/2e^(-x)+1/2e^x

回答2：

y'+y=e^x
两边乘以e^x
得到 (y‘+y)*e^x=e^2x { （ye^x）'=y'e^x+y*(e^x)'=(y'+y)e^x }
所以有：(ye^x)'=e^2x
所以y*e^x=(e^2x)/2+C
微分方程的通解为：y=(e^x)/2+C*e^(-x)
x=0时，y=1/2+C=2 C=3/2
所以特解为：y=(e^x)/2+(3/2)*e^(-x)