13问答网 > 已知数列{an}首项a1=2,且对任意n∈N*,都有a(n+1)=ban+c,其中b,c是常数。

已知数列{an}首项a1=2,且对任意n∈N*,都有a(n+1)=ban+c,其中b,c是常数。

2025-05-08 23:31:41

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回答1：

若数列{an}是等比数列，则易得　c=0
由条件知，a1,a2,a3按某种顺序排列成等差数列，
我们知道，等差数列总是单调的（常数列除外），
现在讨论前三项2,2b,2b²按某种顺序排列成等差数列的情况。
若02b>2b²，是单调的，但它不是等差数列，调整顺序后又不单调，所以不能组成等差数列；
从而　-1　2b+2=4b²，解得　b=-1/2
从而　an=2×(-1/2)^(n-1) ,Sn=4[1-(-1/2)^n]/3
令　Sn<341/256，即
4[1-(-1/2)^n]/3<341/256
化简，得(-1/2)^n>(1/2)^10
故　当n为偶数时，有n<10
所以，n=2，4，6，8.