13问答网 > 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形。∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD。（1）证明：PA⊥BD。

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形。∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD。（1）证明：PA⊥BD。

2025-05-09 00:36:45

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回答1：

第一个问题：
∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥PD。
∵∠BAD＝60°、AB＝2AD，∴AD⊥BD。
由AD⊥PD、AD⊥BD、PD∩BD－D，得：AD⊥平面ABD，∴AD⊥BD。

第二个问题：
∵PD＝AD＝1，∴AB＝2。
∵∠BAD＝60°、AD⊥BD、AD＝1，∴BD＝√3。
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD，∴PB＝√（PD^2＋BD^2）＝√（1＋3）＝2。
∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC、AD∥BC，而AD⊥BD，∴BC⊥BD，
∴△PBC的面积＝（1/2）PB×BC＝（1/2）×2×1＝1。
又△BCD的面积＝（1/2）BD×BC＝（1/2）×√3×1＝√3/2。

令棱锥D－PBC的高为h，则由D－PBC的体积＝A－BCD的体积，得：
（1/3）△PBC的面积×h＝（1/3）△BCD的面积×PD，
∴h＝（√3/2）×1＝√3/2。
即：棱锥D－PBC的高为√3/2。

回答2：

解：

（Ⅰ）因为，由余弦定理得

从而BD2+AD2= AB2，故BDAD

又PD底面ABCD，可得BDPD

所以BD平面PAD. 故 PABD