一道高中数学圆锥曲线题

存在

设过E(-2，0)的直线方程为：y=k(x+2)=kx+2k；代入椭圆方程得：

2x²+6(kx+2k)²-12=0；化简系数得： x²+3(kx+2k)²-6=0；

展开化简得：(1+3k²)x²+12k²x+12k²-6=0；设M(x₁，y₁)；N(x₂，y₂)；则：

x₁+x₂=-12k²/(1+3k²)；x₁x₂=(12k²-6)/(1+3k²)；于是∣MN∣:

原点(0，0)到MN的距离h=∣2k∣/√(1+k²);∴∆OMN的面积S:

即存在过E的两条直线：y=±(√3/3)(x+2)都能使S△OMN=(2/3)√6;

解：设过点(-2,0)的直线方程为y=k(x+2)。代入C的方程，经整理，有(1+3k²)x²+12k²x+6(2k²-1)=0。
∴由韦达定理，有x1+x2=-12k²/(1+3k²)，x1x2=6(2k²-1)/(1+3k²)。∴(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=24(1+k²)/(1+3k²)²①。
又，丨MN丨=√(1+k²)丨x1-x2丨，点O到直线y=k(x+2)的距离d=丨2k丨/√(1+k²)，∴S△OMN=d*丨MN丨/2=丨k丨*丨x1-x2丨=(2/3)√6②。
将①代入②，解得k²=1/3。∴k=±1/√3，即存在直线y=±(x+2)/√3满足条件。
供参考。