某行星和地球绕太阳公转的轨道视为圆。每过N年，行星会运行到日地连线的延长线上，行星与地球的公转半径比

此题需分类讨论。
第一步先要表达出该行星的周期，这里需用到交合公式。
设其周期为T，地球周期为t，则
对于外行星存在1/t-1/T=1/N
对于内行星存在1/T-1/t=1/N
解出其周期后（为方便计算，可令t=1)代入开普勒第三定律即可求解。

这个题目出的太好了！
题目的考察点是由天体引力提供向心力的圆周运动，但是难点在于地球和行星两者周期的关系！！！
我当然离开高中很久了，这个问题考虑了很久，就是因为在周期问题上没有想通。
首先，万有引力提供向心力，(GMm)/(r**2)=m(V**2)/r=mr(w**2)=mr(2π/T)**2
其中，**表示乘方，**2就是平方，百度不支持公式格式，恕我只能这样表示了。
等号左边，(GMm)/(r**2)是万有引力。
等号右面为离心力公式，质量*速度平方/半径=质量*角速度平方*半径。
这里速度、角速度都不清楚，所以用周期公式，2π/T=角速度。
建立了周期T与公转半径r的关系，(r2/r1)**3=(T2/T1)**2
而难点在于，每过N年行星会运行到日地连线的延长线上，得出，行星周期、半径比地球大，所以，没过N年，地球比行星多转一圈，才能保证两者共线。所以，(N/T1)=(N/T2)+1。而地球周期是1年，注意，地球周期是1年，T1=1，这是一个很重要的条件！所以，N=(N+T2)/T2，T2=N/(N-1)。
所以，行行星与地球公转半径之比为，(N/(N-1))**(2/3)。
（说的比较啰嗦，希望你能明白。我认为，难点确实在于地球和行星周期的问题。）
我从高中到现在都很喜欢高中物理，不仅当时喜欢做物理题目，更感觉物理知识对现实生活和科学问题中的原理可以最为明确的阐释出来。

地球转N圈，而该行星转N-i圈，所以T地=一年，T行=N/N-1年由开普勒第三定律知r行/r地=（T行/T地）的三分之二次幂