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展开成幂级数，题目答案见图，为什么，答案中∑n是从1开始而不是从0开始，还有为什么是n－1而不是n

2025-05-14 03:05:15

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回答1：

由1/(1+x) = ∑『n=0,∞』(-x)^n
f(x) = 1/(x+2) = 1/[(x-4)+6]
= 1/6 × 1/[(x-4)/6 + 1]
= 1/6 × 1/[(x-4)/6 + 1]
= 1/6 × ∑『n=0,∞』(-(x-4)/6)^n
= 1/6 × ∑『n=0,∞』((4-x)/6)^n
= ∑『n=0,∞』(4-x)^n/6^(n+1)
幂级数收敛域
|a(n)/a(n-1)| = |(4-x)^n/6^(n+1) / (4-x)^(n-1)/6^n|
= |(4-x)/6| ＜ 1
解得-2＜x＜10
当x=-2时，f(x) = ∑『n=0,∞』1/6 级数发散；
当x=10时，f(x) = ∑『n=0,∞』(-1)^n/6 级数发散。
综上所述，f(x) = ∑『n=0,∞』(4-x)^n/6^(n+1)，收敛域为（-2，10）。