13问答网 > 已知数列{an}，{bn}满足a1=23，an+1=2anan+2，b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=n（n∈N*）．（1）求数列{an}和{bn}

已知数列{an}，{bn}满足a1=23，an+1=2anan+2，b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=n（n∈N*）．（1）求数列{an}和{bn}

2025-05-12 13:17:10

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回答1：

（1）由a_n+1=

2an

an+2

，得

an+1

＝

an+2

2an

＝

，即

an+1

＝

．
∴数列{

}是首项为

＝

，公差为

的等差数列．
∴

＝

+(n?1)?

＝

n+2

，即an＝

n+2

．
∵b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n ①，
∴b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1=n-1 （n≥2）②．
①-②得2^n-1b_n=1，即bn＝

2n?1

(n≥2)．
由①知，b₁=1也满足上式，故bn＝

2n?1

；
（2）由（1）知，

＝

n+2

，下面用“错位相减法”求T_n．
Tn＝

+…+

n+2

③，

Tn＝

+…+

n+1

n+2

2n+1

④．
③-④得

Tn＝

+…+

n+2

2n+1

=2?

n+4

2n+1

，
∴Tn＝4?

n+4

＜4．
又

＞0，则数列{T_n}单调递增，故Tn≥T1＝

＞1，从而1＜T_n＜4．
因此，存在正整数m=1、M=4且M-m=3，使得m＜T_m＜M对一切n∈N^*恒成立．