13问答网 > 设z1、z2、z3是互不相等的三个非零复数，且满足关系式z1z2=z3^2，z2z3=z1^2，则z1+z2+z3________.

设z1、z2、z3是互不相等的三个非零复数，且满足关系式z1z2=z3^2，z2z3=z1^2，则z1+z2+z3________.

2025-05-07 21:39:12

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回答1：

z₁z₂ = (z₃)²，z₂z₃ = (z₁)²
相除得z₃/z₁ = (z₁/z₃)²
(z₃/z₁)³ - 1 = 0
(z₃/z₁ - 1)[(z₃)²/(z₁)² + z₃/z₁ + 1] = 0，z₃/z₁ ≠ 1
(z₃)²/(z₁)² + z₃/z₁ + 1 = 0
(z₃)² + z₁z₃ + (z₁)² = 0，将(z₃)² = z₁z₂代入
z₁z₂ + z₁z₃ + (z₁)² = 0，∵z₁ ≠ 0，约掉
==> z₁ + z₂ + z₃ = 0

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