如图所示，bd是平行四边形abcd对角线，ae垂直于e于f，cf垂直于bd于f，求证：四边形aecf是平行四边形

证明：因为四边形ABCD是平行四边形

∴AB=∥CD

∴∠ABE=∠CDF

 因为AE⊥BD   CF⊥BD 

 ∴AE∥CF(垂直于同一直线的两条直线互相平行)

 ∠AEB=∠CFD=90°

∴△ABE≅△DCF(AAS)

∴AE=CF

则AE=∥CF

∴四边形AECF是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

证：
∵ABCD是平行四边形
∴AB=CD ∠ABE=∠ CDF（内错角相等）
又 ∵AE⊥BD, CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90 CF‖AE
∴△ABE全等△CFD(角角边定理）
∴AE=CF
又 ∵ AE‖CF(已证）
∴AECF是平行四边形

∵AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AED=∠BFC=90°,AE‖CF
平行四边形ABCD中,AD‖BC，AD=BC
∴∠ADB=∠CBD
∴⊿AED≌CFB
∴AE=CF
∵AE‖CF
∴四边形AECF是平行四边形

证明：平行四边形abcd
AD=BC，∠AED=∠BFC=RT∠，∠ABF=∠ADE
△ADE≌△BCF（边边角）
故AE=CF
AB=CD，BF＝DE（已证△ADE≌△BCF）
∠ABF＝∠CDE
故△ABF≌△CDE（边角边）　
故AF＝CE
即四边形AECF中AE＝CF，AF＝CE
故四边形AECF是平行四边形成立