微积分幂级数问题，如图题6，求解答过程。

2025-05-10 10:05:27

推荐回答（3个）

回答1：

要展开f(x)，题目又不加以说明，可以默认为在x=0处展开
f(x)=x/(1+x-2x^2)=(1/3)*[1/(1-x)-1/(2x+1)]
而1/(1-x)=∑(n=0,+∞)x^n，x∈(-1,1)
1/(1+2x)=∑(n=0,+∞)(-2x)^n，x∈(-1/2,1/2)
因此，f(x)=(1/3)*[∑(n=0,+∞)x^n-∑(n=0,+∞)(-2x)^n]
=(1/3)*∑(1-(-2)^n)x^n，x∈(-1/2,1/2)
有不懂欢迎追问

回答2：

按照有理函数不定积分的部分分解的做法，把f(x)分解为1/3×1/(1-x)-1/3×1/(1+2x)，接下来套用1/(1-x)，1/(1+x)的展开式，有
1/(1-x)=∑x^n，-1＜x＜1
1/(1+2x)=∑(-2)^n×x^n，-1/2＜x＜1/2
所以f(x)=∑[1/3-1/3*(-2)^n]x^n，-1/2＜x＜1/2

回答3：

详解如下： x的收敛区间为：（-1/2,1/2）