求证y=1⼀x눀在(0,+∞)上是减函数,并求X∈[1,2]时最大值和最小值

法一
在(0,+∞)任取两个值x1,x2且0f(x1)=1/x1²
f(x2)=1/x2²
f(x1)-f(x2)=(x2²-x1²)/(x1²x2²)≥0
∴y=1/x²在(0,+∞)上是减函数
法二(限高中以上)
y'=-1/2x³
x (0,+∞)
y' -
y ↓
∴y=1/x²在(0,+∞)上是减函数
ymax=y|x=1 =1
ymin=y|x=2 =1/4

设0y1-y2=1/x1^-1/x2^=(x2^-x1^)/x1^x2^=(x2+x1)(x2-x1)/x1^x2^
因为x2+x1>0 x2-x1>0 x1^x2^>0
所以y1-y2>0
所以y=1/x²在(0,+∞)上是减函数
当x=1时，y取得最大值，y=1
当x=2时，y取得最小值，y=1/4

y=f(x)=1/x²，
设0f(x2)-f(x1)=1/x2² -1/x1²
=(x1²-x2²)/(x1²x2²)
=(x1-x2)(x1+x2)/(x1x2)²<0
即 f(x1)>f(x2)
从而 y=1/x²在(0,+∞)上是减函数。
所以当X∈[1,2]时，f(1)=1为最大值，f(2)=1/4为最小值。

对y求导，得到（-2）（1/X）.当X大于0时，这函数小于0，因此y是减函数。所以当X=1时y为最大值，当X=2时y为最小值

设x1,x2>0,且x1>x2,则y1-y2=(x2^2-x1^2)/x1^2*x2^2<0，所以函数为减函数。则当X∈[1,2]时，x=1时，为最大值y=1；x=2时，为最小值y=1/4