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高数数学题:设f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4，则f(1)的导数为

2025-05-07 13:25:17

推荐回答（3个）

回答1：

两边取对数，lnf(x)=ln(x-1)+2ln(x-2)+3ln(x-3)+4ln(x-4)
两边求导，f'(x)/f(x)=1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)+4/(x-4)
所以f'(x)=(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4+(x-1)*g(x),g(x)为一个多项式
所以f'(1)=1*(-2)^3*3^4=-648
像这样连乘的题目，往往是取对数，这样可以大大减小求导时的计算量。

回答2：

首先，对于X=1；倒数部分带(x-1) 的部分可以排除了，也就是说对(x-1)后面的分部导数不用看了，导数只有前一项，f'(x)(x=1)=(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4;
再把1代入；得f'(1)=(-1)^2*(-2)^3*(-3)^4=-648；

回答3：

令F（x）=(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4，则f（x）=F(x)*(x-1),有f(x)'=F(x)'(x-1)+F(x),所以f(1)'=F(1)=1*(-2)^3*(-3)^4=-648