江南十校2014数学已知函数f(x)=xlnx-(a⼀2)x的平方 当a=1时

解：
由题意f(x)的定义域为{x | x>0}，对f(x)求导：
f′(x)=lnx+1-a/2 (x>0) （1）
代 a=1，即：
f′(x)=lnx + ½ (x>0) （2）
再对f′(x)求导，即对f(x)求二阶导数，即有：
f′′(x)=1/ x (x>0) （3）
由（3）知f(x)的二阶导数 f′′(x) 在其定义域上单调递增，故（2）式至多有一个零点。
又：当 x→0﹢ 时 limit f′(x) → －∞ < 0；当 x→﹢∞时 limit f′(x) → ﹢∞>0. 因此：
f′(x)=0 有且仅有一个解：x=e(-½)
得到：当x∈(0,e(-½))时， f′(x)<0；当x∈(e(-½), +∞)时， f′(x)>0；当x=e(-½)时， f′(x)=0.
所以，f(x) 在(0,e(-½))上单调递减，在(e(-½), +∞)上单调递增，在x=e(-½)处取得极小值。

综上，f(x)在a=1时有且仅有一个极值点，且该点为极小值点。