设函数f(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x>-1)

1）f'(x)=-ln(x+1) 所以f 在(-1,0]上严格单调递增，[0,正无穷）上严格单调递减
从而f的最大值为0且对任意x>0,f(x)<0
2）现在考虑g(x)=ln(1+x)/x 这个函数 （定义在非零正实数集上）
g'(x)=1/(x(1+x))-ln(1+x)/x^2
=f(x)/(x^2*(1+x)) (上一步通分就可以了)
所以对任意x>0,g'(x)<0
g是严格单调递减的
所以g(n) 即ln(1+n)/n 取对数(1+n)^(1/n)<(1+m)^(1/m)
也就是(1+n)^m<(1+m)^n
3)①用柯西不等式：（X1^2/(1+X1)+……+Xn^2/(1+Xn)）*（（1+X1）+..+（1+Xn））
>=(X1+..+Xn)^2
也就是（X1^2/(1+X1)+……+Xn^2/(1+Xn)）*（n+1）>=1
两边同除n+1即可
②由2）可知 (1+n)^(1/n)<(1+2012)^(1/2012)=2013^(1/2012)
因此(1/(n+1))^(1/n))>(1/2013)^(1/2012)
由3）①得 左式>=(1/(n+1))^(1/n))>(1/2013)^(1/2012)