大一高数题，有关级数与微分方程。

y=Σ(n:0→∞)(2x)^(2n)/(2n)!
y'=2·2n·Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-1)/(2n)!
=2Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-1)/(2n-1)!
y''=2·2·(2n-1)·Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-2)/(2n-1)!
=4Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-2)/(2n-2)!

y''-4y
=4Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-2)/(2n-2)! - 4·Σ(n:0→∞)(2x)^(2n)/(2n)!
=4[Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-2)/(2n-2)! - Σ(n:0→∞)(2x)^(2n)/(2n)!]
=4·0
=0

y=Σ(n:0→∞)(2x)^(2n)/(2n)!=e^(2x)
根据e^x=Σ(n:0→∞)x^n/n!（简写形式。或者写成：1+Σ(n:1→∞)x^n/n!）

和函数为双曲型cosine函数：cosh(2x)=[exp(2x)+exp(-2x)]/2，
因为exp(2x)和exp(-2x)展开式中的奇数项相互抵消了。
当然，双曲型cosine函数满足题目中的微分方程。

将e^(2x)和e^(-2x)迈克劳林级数展开，然后相加，你会发现
y=1/2[e^(2x)+e^(-2x)]
而方程的通解为y=C1*e^x+C2*e^(-x)
将C1=C2=1/2就OK了