13问答网 > 已知圆C：x2+y2-2y-4=0，直线l：y=mx+1-m；（1）求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）

已知圆C：x2+y2-2y-4=0，直线l：y=mx+1-m；（1）求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）

2025-05-10 05:25:23

推荐回答（1个）

回答1：

（1）证明：圆C：x²+y²-2y-4=0可化为：x²+（y-1）²=5．
由直线l：y=mx+1-m，得m（x-1）-y+1=0，
由

x?1＝0

?y+1＝0

，得

x＝1

y＝1

．
∴直线l：mx-y+1-m=0过定点P（1，1），
代入圆C：x²+（y-1）²=5，得1²+（1-1）²=1＜5，
∴点P（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5内部，
∴对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）解：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，代入圆x²+（y-1）²=5得：y₁=-1，y₂=3，
此时|AB|=4，不满足题意；
∴直线l的斜率存在，
由|AB|=

，圆的半径为

，得圆心到直线l：mx-y+1-m=0的距离为