（1）∵f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，
∴x＞1，f′(x)＝
?k，1 x?1
∵x＞1，∴当k≤1时，f′(x)＝
?k＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；1 x?1
当k＞0时，f（x）在（1，1+
）上是增函数，在（1+1 k
，+∞）上为减函数．1 k
（2）∵f（x）≤0恒成立，
∴?x＞1，ln（x-1）-k（x1）+1≤0，
∴?x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，
∴k＞0．
由（1）知，f（x）max=f（1+
）=ln1 k
≤0，1 k
解得k≥1．
故实数k的取值范围是[1，+∞）．
（3）令k=1，则由（2）知：ln（x-1）≤x-2对x∈（1，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立．
取x=n2，则2lnn≤n2-1，
即
≤lnn n+1
，n≥2，n?1 2
∴
+1n2 3
+1n3 4
+…1n4 5
＜1nn n+1
(n∈N*且n＞1）．n(n?1) 4
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