三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，(Ⅰ)求证AB⊥BC；(Ⅱ)如果AB=BC=2 ，求侧面PBC与侧

2025-05-08 16:54:14

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回答1：

(Ⅰ)证明：取AC中点O，连结PO、BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵侧面PAC⊥底面ABC，
∴PO⊥底面ABC，
又PA=PB=PC，
∴AO=BO=CO，
∴△ABC为直角三角形，
∴AB⊥BC。
(Ⅱ)解：作OD⊥PC于D，连结BD，
∵AB=BC=2

，AB⊥BC，AO=CO，
∴BO⊥AC，侧面PAC⊥底面ABC，
∴BO⊥侧面PAC，∴BD⊥PC，
∴∠BDO为侧面PBC与侧面PAC所成二面角的平面角，
∵AB=BC=2

，AB⊥BC，AO=CO，
∴BO=CO=

，PO=

，
∴

，
∴tg∠BDO=

，
∴∠BDO=

，
即侧面PBC与侧面PAC所成二面角为

。