斜三棱柱ABC-A1B1C1底面是边长为2的正三角形，

斜三棱柱ABC-A1B1C1底面是边长为2的正三角形，顶点A1在底面的正投影为△ABC的中心，AA1与AB的夹角为45°，求此三棱柱的侧面积为？
过点A1作底面ABC的垂线，垂足为O，已知点O为底面正△ABC的中心
连接并延长AO，交BC于点D，那么点D为BC中点
且，AD⊥BC
因为A1O⊥面ABC，所以A1O⊥BC
所以，BC⊥面A1AD
所以，BC⊥AA1
而在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1//BB1//CC1
所以，BC⊥BB1，BC⊥CC1
即，侧面BCC1B1为矩形
另外两个侧面ACC1A1和ABB1A1为两个全等的平行四边形
连接CO并延长，交AB于点E，连接A1E
同理，CE⊥AB，且点E为AB中点
因为AB⊥CE，AB⊥A10
所以，AB⊥面A1CE
所以，AB⊥A1E
已知，∠A1AB=45°
所以，△A1AE为等腰直角三角形
底面△ABC为边长是2的正三角形，O为△ABC中心。所以：
AD=(√3/2)AC=(√3/2)*2=√3
AO=(2/3)AD=(2√3)/3
点E为AB中点，所以：AE=1
而△A1AE为等腰直角三角形，所以A1E=AE=1，AA1=√2
那么，侧面ABB1A1的面积=AB*A1E=2*1=2，同理侧面ACC1A1的面积也是2
侧面BCC1B1的面积=BC*BB1=2*√2=2√2
所以，三棱柱的侧面积=4+2√2