解：取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D
连接HE，在D1E上任取一点M，
过M在面D1HE中，作MG平行于HO，
其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，
再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，
由于GM∥HO，HO∥KB，KB?平面ABCD，
GM?平面ABCD，
所以GM∥平面ABCD，
同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，
由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，
则MN∥平面ABCD．
由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．
故选D．
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