五年级奥数题：10个相同的小球，放入编号为1，2，3的三个盒子内，

首先说你的思路错在了两个地方。

这个题的关键点在于，10个小球是相同，但是三个盒子是不同的，所以对于每种放法，其结果可以用一个有序的数组表示(a,b,c)。“不同放法”中的“不同”是指a或者b或者c取不同的值。比如，(a,b,c)＝(2,3,5)，只要三个盒子中的球数满足这样一个关系，那么不管10个球当中的哪两个放在第一个盒子里，哪三个放在第二个盒子里，哪五个放在第三个盒子里，都是一种结果而已。按照你的想法，若每个球都有三种放法，也就是其中一个球怎么放和其它球是没有关系的，那么，就很可能把一个结果当成了不同的结果对待了。其实，如果把这10个球也编上号，那么你的思路应该是对的。

但是，即使你的思路是对的，那你的结果也不对，这就是第二错误。四个球，一个球有三种放法，这应该是排列组合当中的乘法原理，结果应该是3×3×3×3＝81种结果，不是12种。

好了，现在说这道题的正确解法。首先，也是先在每个盒子分别放入1、2、3个小球，之后的问题就是怎么把四个小球分为三组，每组的个数最小为零个，最大为四个，而且有顺序。这便有四种分法，即
4＝1＋1＋2， ……①
4＝0＋2＋2， ……②
4＝4＋0＋0， ……③
4＝0＋1＋3， ……④

再考虑顺序的问题。第①种分法中，有三种顺序，即
4＝1＋1＋2＝1＋2＋1＝2＋1＋1；
第②种分法中，有三种顺序，即
4＝0＋2＋2＝2＋0＋2＝2＋2＋0；
第③种分法中，有三种顺序，即
4＝4＋0＋0＝0＋4＋0＝0＋0＋4；
第④种分法中，有六种顺序，即
4＝0＋1＋3＝0＋3＋1＝1＋0＋3＝1＋3＋0＝3＋1＋0＝3＋0＋1。

所以，最后结果应该是3＋3＋3＋6＝15种放法，而不是答案给出的5种。
其实可以检验，把这15种顺序分别加上1、2、3得到最终结果，逐一进行检验，都符合题目要求，而且没有重复。