在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A 1 ，A 2 ，上、下顶点分别

2025-05-09 21:18:32

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回答1：

解：（Ⅰ）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），
因为直线A₁ B₁ 的倾斜角的正弦值为

，
所以

，
于是a² =8b² ，即a² =8（a² -c² ），
所以椭圆E的离心率

；
（Ⅱ）由

可设a=4k（k＞0），

，
于是A₁ B₁ 的方程为

，
故OA₂ 的中点（2k，0）到A₁ B₁ 的距离

，
又以OA₂ 为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，
所以直线A₁ B₁ 与圆C相切；
（Ⅲ）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而

，
设OA₂ 的中点（1，1）关于直线A₁ B₁ ：

的对称点为（m，n），
则

，解得

，
所以，圆C的方程为

。

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E： （a＞b＞0）的左、右顶点分别为A 1 ，A 2 ，上、下顶点分别